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¿Por qué la Torre Eiffel tiene la forma que tiene?

Construida para la Exposición Universal de 1889 en conmemoración del centenario de la Revolución Francesa, la Torre Eiffel se proyectó como un ejemplo de progreso y un logro de la ciencia y la tecnología del siglo XIX.

forma_de_la_torre_eiffel

Su silueta estructural quizás sea una de las más fácilmente reconocibles del mundo. Pero, ¿sabes por qué tiene la forma que tiene?

En este blog hemos hablado más de una vez cómo factores externos pueden determinar la forma nuestra estructura. Ya hablamos como las turbulencias de un flujo podían hacerlo (en Jukovski, una curva interesante para usar en una estructura), o cómo, para evitar una erosión excesiva, podíamos optar por formas específicas (en Creager, otra curva interesante para usar en una estructura). También hablamos de las estructuras isotensionales que nos ahorran material (Gaudí, el funicular de cargas y un software para calcular en 3d), o incluso vimos como nuestro astro rey podía tener mucho que decir en la forma de nuestra estructura (en ¿Puede el Sol condicionar la forma de una estructura?)

En este post te explicaremos cuál fue el motivo que llevó, en junio 1884, a los dos ingenieros principales de la empresa Eiffel, Émile Nouguier y Maurice Koechlin, a elegir la forma actual de la Torre Eiffel.

emile-nouguier-y-maurice-koechlin

A la izquierda Émile Nouguier y a la derecha, Maurice Koechlin. Autores del diseño y cálculo de la Torre Eiffel

Nouguier y Koechlin tenían experiencia en el cálculo de puentes ferroviarios. Eran ingenieros civiles de gran prestigio en su tiempo y ya habían conseguido puentes con pilas muy altas para la época. Como por ejemplo, el Puente Garavit (Francia) o el Puente María Pía (Portugal).

pontemariapia

Puente María Pia (Oporto) Fuente: Wikipedia

garabit

Puente Garabit (Francia) Fuente: Wikipedia

Gracias a su experiencia, sabían que había tres grandes acciones a considerar para el cálculo de las pilas de un puente: las acciones provenientes del tablero del puente, el viento sobre la pila y el propio peso de esta. En el concurso de la gran torre para la exposición universal, solo tuvieron que utilizar sus conocimientos en pilas de puentes, a sabiendas que para la torre solo tendría dos acciones determinantes: el viento y el peso propio.

De hecho, la solución ya casi la tenían antes de empezar. Miremos por ejemplo, desde Google Maps, la pila del puente María Pía realizada por ellos 10 años antes que la majestuosa torre:

¿Lo veis? Os daré una pista 😉 :

puente_maria_pia

¡Si! ¡Ahí está! Pero ¿por qué esa forma?

Como hemos dicho, las acciones a considerar en la una torre prácticamente son dos: el viento y el peso propio. Analicemos estas acciones detalladamente:

Pensemos primero en el peso propio: si la torre fuera de forma cilíndrica, está claro que las secciones inferiores del cilindro estarían sometidas a mas tensión (rojo) que las secciones superiores (azul) debido a que a igualdad de área de la sección, abajo hay mas peso soportado que en la parte de arriba:

tension

Así pues, lo ideal para para optimizar el material, es reducir sección donde sobra (en la parte de arriba) y aumentar donde falta (en la parte de abajo) para llevar la estructura a una tensión constante en toda  su altura. Algo parecido a esto:

estructura-isotensional

Y eso se parece mucho a la Torre Eiffel. Este sólido se llama sólido isotensional y tiene la propiedad de que cada sección del sólido está sometida a la misma tensión (el peso aumenta en la misma medida que aumenta su sección).

Para los que quieran deducir la ecuación del borde de dicho sólido, os la planteo aquí:

funcion

Si el volumen de la parte de la torre que está por encima de de la sección a altura x es el volumen de revolución generado por la curva y = f(t):

f1

Y el área de la sección es el círculo de radio f(x):

f2

Entonces, la condición de que la presión a cualquier altura de la torre sea constante queda:

f3

Siendo k una constante. Expresión que nos lleva a la siguiente ecuación funcional:

f4

 Que si resolvemos, nos deja la siguiente ecuación diferencial de variables separables:
f5
Cuya solución son funciones de la forma:
f6
Como veis, una función exponencial. Muy al rollo de la forma que tiene la Torre Eiffel.

Pero siento deciros que esta expresión solo vale para explicar una parte de la torre: de la segunda planta para arriba. No está mal, por que es prácticamente 2/3 partes de la torre.

torre_eiffel_isotensional

Sin embargo, hay otra condición que define satisfactoriamente la totalidad de la torre. Y esta nace de la segunda acción importante en la estructura: el viento.

Nouguier y Koechlin diseñaron la estructura de modo que, para cada cota, el máximo momento generado por el viento fuese compensado por el momento del peso de la Torre.

torre_eiffel_viento

Para lograr este equilibrio, el diseño tiene las patas curvadas, de tal modo que las tangentes a ellas, dibujadas en puntos a la misma altura, se corten siempre en el punto por el que pasa la resultante de los esfuerzos del viento sobre la parte que está encima de los puntos en cuestión. O dicho de otra manera mas sencilla: el momento debido al viento en cualquier parte de la Torre, desde una altura dada hasta la cima es igual al momento del peso de esa misma parte:

f7De esta igualdad de momentos, se puede calcular la curvatura de los bordes de la torre consiguiendo que la estructura resista el empuje del viento de la manera mas eficiente: por su propio peso.

Para el que quiera sacar la ecuación le dejo el planteamiento:

rebanada_torre_eiffel

La rebanada de Torre a altura x con grosor dx tiene un peso proporcional a su volumen:

f8

donde ρ es la densidad de la Torre y g es la aceleración debida a la gravedad. El brazo del peso es f0, la mitad de la anchura de la Torre en la base. La fuerza ejercida por el viento sobre cada rebanada es proporcional al área:

f9

donde P es la máxima presión que la Torre puede soportar a altura x sin derrumbarse. La condición de igualdad de momentos nos lleva a la siguiente ecuación integral:

f10

Pero para definir esta curvatura resolviendo la ecuación anterior, Nouguier y Koechlin tenían que conocer de manera precisa como cambia la ley de empujes del viento a lo largo la altura de la torre, w(x). ¡He aquí la proeza de estos ingenieros, quienes ya en 1870 sabían estimar, sin mucho error, la ley de presiones del viento para estructuras de 300 m de altura nunca construidas con anterioridad!

koechlin

Diseño inicial de la Torre Eiffel por Nouguier y Koechlin

Por último, para hacer el proyecto más aceptable de cara a la opinión pública, Nouguier y Koechlin pidieron al arquitecto Stephen Sauvestre trabajara en la apariencia del proyecto.

Sauvestre propuso pedestales en las patas recubiertos con mampostería, arcos monumentales para unir las columnas y el primer nivel, grandes salas acristaladas en cada planta, un diseño en forma de bulbo para la cima y otros ornamentos para adornar la estructura en su conjunto.

El diseño propuesto final fue seleccionado por unanimidad entre mas de 700 propuestas. Una vez ejecutada, en marzo de 1889, fue la construcción más alta del mundo, permaneciendo así hasta mayo de 1930 (41 años) cuando el Edificio Chrysler, en New York, con 319 m de altura, le quitó el récord.

Fuentes:

 


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José Antonio Agudelo Zapata

Ing. Caminos, Canales y Puertos y Máster de Estructuras por la Universidad de Granada. Cofundador y responsable de Estructurando.net

11 Responses to ¿Por qué la Torre Eiffel tiene la forma que tiene?

  1. Lucho dice:

    Muy interesante!

  2. José Manuel dice:

    Post muy interesante! Muchas gracias por compartirlo. Un saludo

  3. Información Bitacoras.com

    Valora en Bitacoras.com: Construida para la Exposición Universal de 1889 en conmemoración del centenario de la Revolución Francesa, la Torre Eiffel se proyectó como un ejemplo de progreso y un logro de la ciencia y la tecnología del siglo XIX. S…

  4. Claudia Orlando dice:

    Muy bueno!!! Gracias por compartir.

  5. tamere dice:

    inspirada en un hueso humano, eh ouais les gars, pesa menos que la burbuja de aire que la contiene

  6. Filiberto Baez Montes dice:

    Buena información porque se construyó de esa forma la Torre Eiffel

  7. Anónimo dice:

    Excelente aporte!!

  8. Anónimo dice:

    Hola amigo! me ha gustado mucho tu publicación, como tambien tu blog, muy buen aporte!! felicidades… espero y me sigas en mi blog, el cual es: tuconstruyes.blogspot.com

  9. Raúl dice:

    Great job. Congratulations.

  10. Anónimo dice:

    okey,ya sabia que venia por ahi pero igualmente queria investigar

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