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Método matricial para estructuras con EXCEL

Todos solemos tener nuestras propias hojas de cálculo en Excel que nos facilitan los cálculos de nuestras estructuras. En este post os explicamos cómo puedes usar Excel para resolver estructuras mediante el método matricial de la rigidez. Y te lo explicamos con un ejemplo: con una hoja de cálculo de esfuerzos laterales en pilotes, con diferentes estratos y usando el método matricial.

Hoja de cálculo esfuerzos laterales en pilotes mediante método matricial

Hoja de cálculo esfuerzos laterales en pilotes mediante método matricial

Si recordamos un poco de nuestras clases de análisis de estructuras, el método matricial de la rigidez consistía en asignar a la estructura de barras una matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de nodos de la estructura con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos mediante la siguiente ecuación:

método matricial

A esta altura supongo que ya habréis caído en la cuenta que para usar este método es necesario que Excel multiplique e invierta matrices. Lo más seguro que os preguntéis: ¿Puede Excel invertir o multiplicar matrices? La repuesta es un rotundo. Entiendo que es ahora cuando empezáis a salivar pensando en las cosas que se pueden hacer con este método. 😉

Obviamente, no vais a resolver cada estructura que os aparezca con este método en Excel. Para eso están los programas de cálculo matricial. Pero a veces, si la estructura es repetitiva y simple, cuesta más hacer el modelo y asignar lo valores en los programas matriciales que tener todo preparado en una hoja de cálculo.

Pero hablemos primero de cómo trabajar con matrices en Excel.

No es usual que la gente sepa que en el programa Excel se pueden multiplicar e invertir matrices. Veamoslo con un ejemplo. Pongamos que tenemos la siguiente matriz colocada en Excel:

E1

Para definir una matriz en Excel tan solo tenemos que usar las filas y columnas como más nos convenga. En este caso, en B3:D5,  tenemos una matriz 3×3.

Si queremos invertir esta matriz tendremos que seleccionar 9 celdas de salida de datos formando igualmente una matriz de 3×3. Con ellas seleccionadas, escribiriremos el comando “=MINVERSA(“ y seleccionaremos la matriz que queremos invertir, que en este caso está  en B3:D5:

E2

Y una vez escrito el comando, ¡ojo!, aquí viene el truco, hay que pulsar CTRL+SHIFT+RETORNO

TECLADO2

Si todo lo hemos hecho bien tendremos el siguiente resultado:

E3

Ahora si lo que queremos es multiplicar dos matrices, se procede de forma similar. Supongamos que queremos multiplicar las dos matrices anteriores. Seleccionamos unas nuevas celdas de salidas de datos de la operación, que en este caso también resulta ser una matriz de 3×3 y usamos el comando “=MMULT(“ seleccionado las dos matrices a multiplicar:

E4

No nos olvidemos del CTRL+SHIFT+RETORNO y obtenemos:

E5

Como es lógico, el resultado de esta operación es la matriz identidad.

Usemos todo esto para calcular esfuerzos laterales en pilotes.

Supongamos que a un pilote de longitud L que atraviesa n estratos, cada uno con un coeficiente de balasto horizontal Kn, se le aplican en cabeza una fuerza F y un momento M:

Pilote atravesando estratos

El modelo a considerar para utilizar el método matricial sería el siguiente:

Modelo esfuerzos horizontales en pilotes

Donde la rigidez de cada resorte, k’, viene dado en función del coeficiente de balasto del terreno, Kn, el diámetro del pilote, D, y el incremento de longitud, ΔL, de cada barra:

fórmula

En este caso, como no vamos a utilizar los esfuerzos y cargas longitudinales del pilote, podemos simplificar  la matriz de rigidez de cada barra de 6×6 en una matriz más manejera de 4×4 tan solo quitando las filas y columnas que intervienen en el axil:

 matriz de rigidez

De esta manera, si os repasáis el método matricial, la matriz de rigidez K para el pilote es del tipo:

matriz de rigidez pilote

Siendo Ki,n la matriz elástica del resorte del nudo n en el estrado i:

KIN

Y ya solo tener en cuenta que si:

FOR2

Entonces:

FOR3

Y en este caso el vector de cargas es de la forma:

P

Es decir, nuestra hoja de cálculo debe calcular la matriz de rigidez K del pilote para luego invertirla y multiplicarla con el vector P. Como se que para entender esto es mejor una muestra, os dejo un fichero Excel con el ejemplo hecho para que le echéis un vistazo:

EXCELHoja de cálculo Esfuerzos laterales en pilotes con método matricial

En esta hoja de cálculo podéis elegir la longitud y diámetro del pilote, los estratos que atraviesa con su módulo de balasto y dada la fuerza F y momento M, se calculan automáticamente los desplazamientos, momentos y cortantes en cada punto del pilote.

hoja de calculo esfuerzos laterales en pilotes

En la pestaña “aux” de la hoja, podéis ver como se monta la matriz de rigidez, se calcula su inversa y se multiplica por el vector de fuerzas para obtener los desplazamientos y esfuerzos en cada punto del pilote.

Matriz de rigidez del pilote

Matriz de rigidez del pilote

Espero que os haya gustado.

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José Antonio Agudelo Zapata

Ing. Caminos, Canales y Puertos y Máster de Estructuras por la Universidad de Granada. Cofundador y responsable de Estructurando.net

26 Responses to Método matricial para estructuras con EXCEL

  1. Manuel Jiménez Fernández dice:

    José Antonio, muchas gracias por compartir tus conocimientos. Muy interesante. Un abrazo de tu ex-compañero.

  2. marco boidi dice:

    Muy aplicable. Gracias por el aporte. Se lo voy a facilitar a mis alumnos de puentes.

  3. Excelente. Tremendamente útil.

  4. Anónimo dice:

    José Antonio, me parece muy útil y práctico este método.

    Gracias por tu contribución

  5. Anónimo dice:

    Como siempre genial en tus aportaciones.

    Gracias y un saludo

  6. Como siempre genial en tus aportaciones.

    Muchas gracias y un saludo

  7. José Antonio, muy interesante. Un abrazo.

  8. Anónimo dice:

    gracias por sompartir tus conocimientos siempre valiosos

  9. Oscar Esteban dice:

    Buenos dias Jose Antonio,

    Una duda que me surge de este método que planteas, cuando calculas la rigidez del soporte elástico K’n consideras todo el diametro del pilote, ¿ no sería solo la mitad del diametro?

    Debido a las cargas que tu estas considerando, horizontal y momento en un mismo plano, el pilote se va desplazar en ese mismo plano, entonces cuando se desplaza por ejemplo para la derecha si colocas resortes en la parte izquierda del pilote, esos resortes estarían trabajando a tracción, los cuales no habría que tener en cuenta porque el suelo solo trabaja a compresión.

    Por eso es que considero que a la hora de calcular la rigidez del soporte solo habría que tener en cuenta la mitad del diametro, porque en la otra mitad el resorte estaría trabajando a tracción.

    • Hola Oscar,
      Gracias por comentar.
      Se debe considerar el diámetro completo del pilote. Realmente el sentido en el que se ponga el resorte no importa. De hecho no se impone el sentido en la matriz de rigidez solo la dirección. Un resorte se opondrá siempre al movimiento, sea cual sea el sentido del movimiento (sea a la derecha o sea a la izquierda). Por tanto, si el pilote se mueve a la derecha, el resorte modela el empuje del terreno que hay a la derecha y si el pilote se mueve a la izquierda el resorte modela el empuje del terreno que hay a la izquierda.
      Cuando no hay terreno en uno de los dos lados del pilote (por ejemplo una pantalla) entonces si que hay que tener cuidado con el sentido del movimiento. En ese caso no se puede hacer cálculos con muelles lineales dado que a en un sentido el terreno se opone al movimiento y en el otro sentido no hay nada que impida el movimiento. Aún así, en este caso también se considera el diámetro completo del pilote pero se debe hacer unos cálculos no lineales progresivos para poder resolver el problema.
      Espero que todo esto te haya aclarado las ideas. Y ya si quieres rizar el rizo, cabe la posibilidad de considerar que el terreno plastifique. Esto ocurre cuando la reacción del terreno necesaria para parar el pilote en un punto es inferior al empuje pasivo máximo que puede movilizar el terreno en ese punto (cosa que puede ocurrir en los primeros metros del pilote). En ese punto, el resorte deja de empujar mas, se queda en el empuje pasivo. En este caso, también hace falta un cálculo no lineal progresivo (se sigue considerando el diámetro completo del pilote). Para que te hagas una idea: se podría usar el método que te describo en este post pero de forma incremental, es decir, ir poniendo poco a poco la carga y en cada cálculo, los muelles que hayan plastificado (reacción superior a su empuje pasivo) se irían sustituyendolo por una acción igual al empuje pasivo. Tras varias iteraciones y llegando a la carga total, se obtiene los esfuerzos y los muelles que han plastificado.
      Espero no haberte liado mucho con tanta charla.
      Un saludo.

      • Oscar Esteban dice:

        Gracias por responder Jose Antonio, pero no lo acabo de ver.

        Los resortes que simulan el terreno se oponen al movimiento del pilote, entonces si el pilote se mueve para un lado solo se van a oponer a ese movimiento los resortes que corresponden a la mitad del pilote, porque los otros resortes no estarían trabajando.
        Considerando la mitad del pilote en la matriz de rigidez estas creando una matriz que actua solo en la mitad del pilote, independientemente de para donde sea el movimiento del pilote. Esa fuerza con la que se oponen los resortes al movimiento es la misma en todas las direcciones, pero en la direccion que se produce el movimiento solo habría reacciones en la mitad del diametro.

        • Hola Oscar,
          Siento no entender al 100% tu duda.
          Te aconsejo que repases el método matricial. El post va del método matricial y no de un método que yo me haya inventado. Es mas, el post va mas bien de cómo usar Excel para resolver estructuras con este método. Por tanto, cualquier libro de matricial te podría valer para aclarar tu duda.

          Dicho esto, voy a intentar a ver si te lo puedo aclarar:

          Un resorte solo modeliza una carga proporcional al movimiento. Olvídate de los resortes, si lo cambias por fuerzas equivalentes en función del desplazamiento quizás lo veas mas claro. No hay resortes en cada lado del pilote (unos a la izquierda y otros a la derecha). Solo hay un resorte en cada punto que estará en un lado u otro en función de lo que se mueva ese punto.
          También debes tener en cuenta que el pilote se deforma, no es un sólido rígido y por tanto en el pilote habrá puntos que se muevan a la derecha y otro a la izquierda (de hecho, lo que suele suceder que la parte superior del pilote se mueva en sentido contrario que la parte inferior). El pilote se flecta en el terreno y moverá los resortes unos en una dirección y otros en la otra.
          Ademas, los resortes se pintan en el esquema en uno de los lados del pilote pero eso es algo esquemático. El resorte es algo puntual que se opondrá al movimiento tenga este el sentido que tenga.

          Si te sirve de algo, si aún no he conseguido que lo veas, puedo asegurarte que se debe tomar el diámetro del pilote. Son muchos años calculando y viendo cálculos de este tipo de muchos ingenieros, incluso la Guía de Cimetaciones de Carretara lo indica así (no es que esto sirva de justificación pero quizá si para que estés mas tranquilo sobre el método y mas receptivo a pensar lo que te comento).

          Un saludo y gracias por generar este interesante debate.;-)

  10. Oscar Esteban dice:

    Hola de nuevo Jose Antonio,

    Ya he entendido lo que tu me querías decir, ha sido un error mio porque yo estaba pensando en el permitro del pilote y no en el diametro, por eso te decia que si no tenia que ser la mitad.

    Al final, lo que has puesto tú es que el area de actuación de los resortes es ∆L*D y yo estaba cosiderando ∆L*(P/2), siendo P el perimetro del pilote.

    Todo lo que comentas en este post me parece muy interesante y valoro todo lo que comentas.

    Un abrazo y dsiculpa por las molestias!

    • Hola Oscar,

      Ahora entiendo lo que querías decir. Si, como bien dices se debe considerar el diámetro y no el perímetro. Se trata de coger la proyección de la sección del pilote en el terreno ∆L*D. Me alegra que hayas aclarado tu duda.

      Un abrazo y de molestias nada. Todo un placer.

  11. Toni dice:

    Una preguntilla Antonio:
    He estado echándole un ojo a la hoja que tienes y me surge una dudilla, ¿los coeficientes que aplicas de 50 y 25 para pasar de balasto KN/m3 a Kn/m que significado tienen?
    Un saludo.

    • Hola Toni.
      La hoja de calculo considera por defecto un pilote de 25 barras. Luego la longitud de cada barra es de L/25. El coeficiente de balasto a poner en cada nodo depende de la longitud de la barra que le llegue y eso es L/25 en los nudos interiores y L/25/2=L/50 en los nudos extremos. De ahí viene considerar 25 ó 50 en los cálculos. Espero haber contestado a tu cuestión.
      Un saludo y gracias por comentar.

  12. Alberto Mediavilla Falcon dice:

    José Antonio: Considero que este método debió formar parte de los ingenieros relacionados con estructuras hace muchos años. Yo utilicé programas para resolver estructuras hace mas o menos por el año 1963, siendo el mejor para todas las aplicaciones. Años después me encontré con el SAP2000, el español de…ya no recuerdo, pero lo voy a buscar y te lo envío.
    Felicito a todos aquellos que consideran esta maravilla para soluciones estructurales y dejan de estar “aplanados”, trabajando en tres dimensiones.

  13. gery lorenzo dice:

    simplemente buen aporte

  14. Ludwing Carrasco dice:

    Hola José.

    Interesante la hoja de cálculo, me preguntaba si se le puede añadir la fricción del terreno.

    Sls.

    • Hola Ludwing,
      En principio, para esfuerzos laterales, no se tiene en cuenta la fricción del terreno. La fricción del terreno se usa mas bien para estimar la carga vertical última del pilote.
      Gracias por comentar y un saludo.

  15. edilp dice:

    Muy buena la planilla. Se considera empotrado o articulado (guiados) en el tope?
    Saludos
    Gabriel

  16. Oscar Mur dice:

    Muchas gracias Jose Antonio por tu aporte!! Lo pondré en práctica.
    Saludos

  17. Jaime Hernandez Perez dice:

    Felicidades y gracias por compartir tus conocimientos. Que tengas Éxito en todo lo que realices.

  18. No sabía que en Excel es posible hacer operaciones matriciales. Muchas gracias por compartir esto.

  19. Jorge R Nuñez dice:

    Muchas gracias!

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