Análisis dinámico de las estructuras. Oscilación libre con amortiguamiento

Continuando con lo explicado en el anterior post sobre la oscilación (Análisis dinámico de las estructuras. Oscilación libre), aquélla sería un movimiento oscilatorio sin fin, pues nada tiende a detenerlo. Sin embargo, ésa es una situación ideal, que, a efectos prácticos, nos proporciona datos acerca del comportamiento dinámico del sistema -cuya utilidad veremos más adelante-, pero que en la realidad no se produce.

En la realidad aparece el amortiguamiento. Veamos en este post cómo se describe este comportamiento.

Oscilación libre con amortiguamiento

La realidad es que los movimientos oscilatorios, por cuestiones varias -rozamiento, histéresis, etc…-, tienden a amortiguarse. Es decir, el movimiento oscilatorio tiende a ir deteniéndose progresivamente a lo largo del tiempo. Tal efecto se lo denomina amortiguamiento. Si bien puede tomar expresiones distintas, el convenio general  es que el amortiguamiento es una fuerza proporcional a la velocidad del sistema, y a la constante de proporcionalidad que rige tal fuerza se la denomina coeficiente de amortiguamiento, convencionalmente notado como c.

Así, al anterior juego de fuerzas del sistema oscilatorio libre habremos de añadirle una nueva dependiente del amoriguamiento. Tomando la misma ménsula que en el caso anterior, obtenemos:Y  ahora el equilibrio se expresará como:

 Dado que

y

la ecuación diferencial de equilibrio del movimiento oscilatorio con amortiguamiento será:

Ahora la solución a la ecuación diferencial no puede ser una función armónica sinusoidal, pues al aparecer la primera derivada, la función cambia y la suma de la ecuación no se satisface. En este caso, las funciones que no alteran su categoría en todas las sucesivas derivadas son las potencias del número e y la solución a la anterior ecuación toma la forma:

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y r es una constante. Tomando esta solución:

                                                                                  

y

Introduciendo las anteriores expresiones en (1) obtenemos:

La anterior ecuación se satisface si A=0, que es la solución trivial, para la que no hay oscilación alguna, esto es, el sistema se mantiene en reposo. Esta solución, como en el caso anterior, carece de interés para nuestro cometido. La solución no trivial es que la suma contenida en el paréntesis sea nula, que sí nos aportará datos acerca del comportamiento dinámico del sistema. Por tanto:

Los datos anteriores son conocidos, a excepción de r y, por ello, se trata de una ecuación de segundo grado en r, que tendrá dos soluciones:

En este caso, aparentemente, el sistema podría oscilar de dos maneras distintas, salvo que el discriminador de la anterior solución fuera nulo, en cuyo caso la solución de r sería única. Si efectivamente es así:

de donde, recordando que

   

Por tanto, la solución es única si el valor de c adopta el anterior valor Ccr, que se conoce como amortiguamiento crítico, denominación que se comprenderá más adelante. En consecuencia, si c=Ccr

quedando, por tanto, que la ley de desplazamientos es, al sustituir en (2):

Si tenemos en cuenta que el exponente es negativo, sucederá que con el paso del tiempo el desplazamiento disminuirá. Inicialmente, con t=0, u(0)=A, pero a partir de ese momento sucederá que u(t)<A. Efectivamente, el desplazamiento se amortigua y cada vez es de menor amplitud. Más aún, si representamos la función de la ecuación (4) y sus dos primeras derivadas -v y a-, obtenemos:

donde observamos que también la velocidad y la aceleración disminuyen a lo largo del tiempo, hasta llegar el sistema al reposo total a tiempo infinito. Pero, además, el movimiento no es ondulatorio, sino que simplemente disminuye en amplitud pero sin cambiar de signo, esto es, sin oscilar en torno al punto de reposo. Por tanto, cuando el amortiguamiento es crítico (c=Ccr) el movimiento no es oscilatorio y tiende irremisiblemente al reposo.

Volvamos ahora a la solución general en que había dos raíces distintas, r1y r2, lo que comporta que entonces  . Conocido que existe un valor crítico del coeficiente de amortiguamiento, que hemos denominado Ccr, y que es una propiedad del sistema, pues depende de parámetros del mismo, independientemente de su deformación, refiramos el coeficiente general c como una proporción de Ccr, de modo que

Si sustituimos (5) en (3) se obtiene:

Conocido el valor de ambas raíces y teniendo en cuenta ahora que el movimiento ha de ser forzosamente superposición de dos distintos de amplitudes A y B, obtendremos:

que sería la expresión del movimiento oscilatorio con amortiguamiento relativo Ω.  Nos encontraremos ahora, para el caso general, que pueden producirse dos casos dentro de él: Ω<1 -amortiguamiento subcrítico- y Ω>1 -amortiguamiento supercrítico-. El segundo caso,  que no sucede en construcciones, supone que la amortiguación del sistema es incluso mayor que la que, de por sí, ya amortigua el desplazamiento llevando el sistema al reposo sin oscilación, por lo que en este caso el sistema también torna al reposo sin oscilación, pero disminuyendo las variables cinemáticas -u(t), v y a- más tardiamente que en el caso estricto del amortiguamiento crítico. Por tanto, ciñámonos al primer caso citado, el del amortiguamiento subcrítico (Ω<1). En tales condiciones, la raíz de la ecuación (6) contiene entonces términos negativos, lo que nos lleva al campo de los números imaginarios y complejos. Recordando que i es raiz de menos 1, (6) quedaría como:

Recordando las igualdades de Euler para números imaginarios y complejos, y llamando frecuencia angular del sistema amortiguado a:

(7) queda como:

Por tanto, con amortiguamiento subcrítico, el sistema sí presenta un comportamiento ondulatorio, cuya amplitud irá disminuyendo a medida que aumente el tiempo. Por tanto, con amortiguamiento subcrítico el sistema tenderá al reposo a tiempo infinito, pero oscilando en torno al punto de reposo cada vez con menor amplitud. Veamos que, además, la frecuencia angular del sistema amortiguado es un valor que depende de la frecuencia angular propia del sistema en oscilación libre y del factor de amortiguamiento, por lo que es una propiedad del sistema amortiguado. Coherentemente con esto, el periodo del sistema amortiguado, T’, será:

Obsérvese que la frecuencia angular del sistema amortiguado será siempre menor que la del sistema en oscilación libre y que su periodo será siempre mayor que el del sistema en oscilación libre. Por tanto, un sistema amortiguado siempre oscila más lentamente que un sistema en oscilación libre. La representación gráfica de (8) resulta bastante explicativa de todo lo anteriormente dicho:

Ahora ya no podemos decir, en un sistema amortiguado, que el periodo sea el tiempo que tarda en repetir un mismo estado de excitación, sino que es el tiempo que pasa entre dos estados de máxima amplitud del desplazamiento de igual signo. Véase que los máximos de la amplitud están limitados precisamente por la curva que definía el desplazamiento del amortiguamiento crítico, por lo que la oscilación del sistema con amortiguamiento subcrítico está siempre limitada superiormente por la amplitud del sistema con amortiguamiento crítico. Por último, se observa que efectivamente el movimiento es ondulatorio y tiende a la extinción a tiempo infinito.

Como última precisión, téngase en cuenta también que los parámetros dinámicos del sistema libre condicionan el sistema amortiguado. Es decir, las propiedades inherentes al sistema libre se mantienen, pero alteradas por el grado de amortiguamiento del mismo.

 


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Aplicación de soluciones estructurales y constructivas online para edificación, creada por técnicos especialistas de la UPM. Colaborador invitado de Estructurando.net

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