Análisis dinámico de las estructuras. Oscilación libre.

En varios artículos vamos a explicar el fundamento del análisis dinámico de las estructuras. Explicaremos los conceptos fundamentales del análisis dinámico con un modelo sencillo de un grado de libertad, y lo generalizaremos a un sistema de varios grados de libertad. Por último, aplicaremos lo explicado al análisis sísmico y luego al análisis vibratorio de estructuras. En este primer artículo trataremos la oscilación libre de un sistema.

Por comparación con el análisis estático, la única diferencia de fundamento del análisis dinámico es que así como en aquél se supone la invariabilidad de la situación con respecto al tiempo, en éste el tiempo es una variable fundamental; es decir, lo que analizamos es el estado del sistema en función del tiempo.

De las formulaciones posibles, se ha tomado la más primitiva, por simple enunciado del equilibrio, aunque las formulaciones energéticas son mucho más potentes, pero también más “oscuras”.

1.- Sistemas de un grado de libertad

Aunque más adelante se generalizará lo expuesto para varios grados de libertad, dado que conceptualmente no hay diferencia alguna entre uno y otro caso, los conceptos básicos referidos al análisis dinámico los deduciremos del comportamiento de un sistema de un solo grado de libertad, es decir, con un solo desplazamiento relevante que defina unívocamente el comportamiento del sistema.

1.1.- Oscilación libre

Tomemos una ménsula vertical empotrada en su base y con una masa m en su extremo superior y que ésta se somete a una aceleración a. Además, la posición horizontal del extremo citado estará determinada por el valor del desplazamiento u(t), que depende del tiempo t. Así el producto de la masa por la aceleración nos indicará la fuerza asociada a la masa, mientras que al aparecer un desplazamiento, la rigidez horizontal de la estructura -que notaremos como k, y es la relación entre la fuerza proporcionada por la estructura y su desplazamiento- nos proveerá una fuerza también, proporcionada por la estructura en función del desplazamiento u(t).

 Planteando el equilibrio, habrá de ser

                                                                                           

Como                                                                                                                          

entonces                                                                                                                          que es la ecuación fundamental de la oscilación libre. Esta ecuación es similar, por ejemplo, a la que rige el fenómeno del pandeo de una barra, cuya solución es la función armónica

                                                                                                       

y, por tanto

                                                                                                                   

Físicamente, A representa la amplitud del desplazamiento, es decir, el máximo valor absoluto que tiene u(t), representa el ángulo de fase -que nos indica que el origen del desplazamiento para t=0 y no tiene por qué coincidir con u(0)=0- yrepresenta la frecuencia angular de la oscilación.

Nótese que en todo el anterior proceso no existe fuerza exterior alguna, sino que tanto la que está asociada a la masa como la que lo está a la rigidez son fuerzas internas del sistema. Por tanto, la anterior oscilación se producirá libremente, sin necesidad de la existencia de una fuerza exterior. Así, para la solución trivial en que u(t)=0, la ecuación fundamental se satisface, pero también para cualquier oscilación representada por la función armónica. La solución trivial no nos interesa en absoluto, pues se trata del reposo del sistema, mientras que la no trivial sí nos indica cuál es el comportamiento dinámico del sistema. Antes de proceder con el desarrollo matemático, representemos la función (4), que es evidentemente de forma sinusiodal:

Podemos observar que entre dos puntos de igual estado (iguales desplazamiento y aceleración) el producto recorre un ángulo y, por tanto, cada lapso de tiempo el sistema repite el mismo estado. O sea, que cada valor del  tiempo el sistema se encuentra en el mismo estado cíclicamente. Al tiempo que pasa entre dos momentos en que el sistema se encuentra en el mismo estado se denomina periodo cuyo valor, tal como hemos visto, es:

                                                                                                                                                                

Por tanto, si el sistema tarda T en pasar de nuevo por el mismo estado, podemos entonces saber también cuántas veces en un cierto lapso de tiempo t pasa por ese estado, mediante la simple división . Es decir, sabemos con qué frecuencia el sistema repite un mismo estado de excitación mediante la anterior operación. Si llamamos ciclo a cada repetición del mismo estado -que tarda T entre una vez y la siguiente-, la frecuencia entonces nos mide cuántos ciclos por unidad de tiempo realiza el sistema. Designando porla frecuencia con que se cumplen los ciclos, será entonces que el número de ciclos n  en un determinado tiempo t será:

                                                                                                                                                   

Si queremos saber el número de ciclos por unidad de tiempo, habremos de dividir las anteriores expresiones por el tiempo t, quedando:

                                                                                                                                         

Por tanto, la frecuencia con que el sistema repite el mismo estado es el número de veces que se completa un ciclo por unidad de tiempo, y su valor es la inversa del periodo. Notemos, además, que tanto el periodo T como la frecuenciason independientes de la amplitud de la oscilación A y que, por tanto, el sistema oscilará libremente con idénticas frecuencia y periodo independientemente de la amplitud A del desplazamiento máximo. Es decir, la frecuencia -o el periodo- es una propiedad del sistema y, por ello, recibe el nombre de frecuencia propia del sistema para un determinado modo de oscilación.

 

Volvamos ahora a la ecuación fundamental (3) e introduzcamos la solución armónica (4) en ella, con lo que obtenemos:

                                                               

y, por tanto                                                                                                                                                                             

Si tomamos ahora (10) y la introducimos en (6) y (8), obtenemos:

                                                                                                                                                 

                                                                                                                                                     

Las ecuaciones (10) a (12) nos indican los parámetros básicos del comportamiento dinámico del sistema en oscilación libre. En primer lugar, la frecuencia angulary la frecuenciason proporcionales, representando en realidad lo mismo, con la única diferencia de que la angular mide la frecuencia en rad/seg y la frecuencia lineal en ciclos/seg=Hz. En segundo lugar, aparece la relación que guarda la frecuenciacon la masa m y la rigidez k del sistema. Sucede que un sistema de mucha rigidez y poca masa presentará frecuencias más altas que un sistema de baja rigidez y mucha masa.

Así, por ejemplo, un cable tensado presenta poca masa en relación a su enorme rigidez, por lo que oscilará con frecuencias altas. Lo contrario suele suceder con las pasarelas o los puentes, elementos de bastante masa pero con poca rigidez relativa que presentan frecuencias muy bajas. Así mediante la simple observación de los valores de rigidez frente a masa del sistema podemos diagnosticar si presentará frecuencias altas o bajas. Para el periodo T el discurso es el inverso, evidentemente. Nos referiremos de aquí en adelante, casi siempre, a la frecuencia del sistema, preferentemente, ya que es lo común y es el término que con más asiduidad aparecerá en las expresiones a utilizar.

Si bien no sea fundamento de este texto, es conveniente recordar qué significa la rigidez. Ésta es la relación entre la fuerza aplicada y el desplazamiento producido por ésta y depende de la rigidez del material de que esté formado el sistema, de los vínculos del mismo y de la constitución geométrica de las partes. Así, sistemas construidos con materiales de alta rigidez -el acero, por ejemplo-, con vínculos muy rígidos o sobreabundantes -sistemas hiperestáticos- y con secciones de alta inercia presentarán para igual masa frecuencias mayores de oscilación que los sistemas constituidos por materiales de baja rigidez, poco hiperestáticos o isostáticos y con secciones de barras de poca inercia.

En cualquier caso, la relación de frecuencias y periodos con respecto a la razón entre la rigidez y la masa, no evoluciona linealmente, sino que para incrementos pequeños de k/m cercanos a cero, el incremento de frecuencia es relevante, mientras que para ese mismo incremento en valores de k/m altos, suponen apenas una mínima variación de la frecuencia propia del sistema. Obsérvese que para sistemas poco rígidos con mucha masa las frecuencias son bajas -por ejemplo, un puente-, mientras que sistemas de alta rigidez y poca masa -un cable tensado, por ejemplo- las frecuencias propias de oscilación serán altas. Y, muy importante, las propiedades oscilatorias propias del sistema no varían con la amplitud de la oscilación.

 


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Aplicación de soluciones estructurales y constructivas online para edificación, creada por técnicos especialistas de la UPM. Colaborador invitado de Estructurando.net

One Response to Análisis dinámico de las estructuras. Oscilación libre.

  1. Anónimo dice:

    Mas claro, ni el agua!

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