¿Merece la pena complicarse la vida con la ecuación Parábola-Rectángulo?

¿Te sabes el chiste de la vaca?

1ª parte

¿Es necesario utilizar la compleja ecuación Parábola Rectángulo PR para obtener resultados certeros de secciones a ELU de flexión?

¿Es posible determinar el estado tensional del hormigón a partir de la ecuación PR?

Si todo parece indicar que las respuestas son NO y NO ¿por qué muchos textos y cursos siguen empeñados en usarlo?

En el post de hoy os lo explicamos.

Un poco de historia y una pizca de teoría

Somos hijos del momento tope, aquel gran descubrimiento de Eduardo Torroja que recogieron las normativas europeas de los años sesenta, incluida la española, con su magnífica edición HA-61.

Hasta entonces el método a seguir había sido el cálculo clásico de comparación de tensiones (aunque es fácil deducirlo, podéis leer el desarrollo del método en el Jiménez Montoya) Pero Eduardo Torroja y otros ingenieros europeos enunciaron el método de los Estados Límite y el cálculo de secciones comparando esfuerzos últimos y solicitantes, más allá del simple cálculo tensional.

Torroja intuyó (y lo cuantificó muy adecuadamente) que había un momento por encima del cual el hormigón tenía que dejar de colaborar. y lo llamó certeramente Momento Tope. La formulación de aquella teoría, que hoy en día es historia, la podéis repasar en normativas antiguas (si la memoria no me falla, pervivió hasta la EHE-81) y también en el Jiménez Montoya (hasta dentro de poco es la vigente edición 15ª pues sé de buena tinta que en la edición 16ª, que se llamará esencial, ya no va  a estar, por lógicas razones editoriales.

Después del Momento Tope se desarrolla,también con la participación de Torroja, la teoría del Diagrama de pivotes que perdura hasta hoy y se cambió el Momento Tope por el Momento Límite con una formulación más analítica y un razonamiento impecable: el momento flector por encima del cual el acero traccionado que equilibra al hormigón trabaja por debajo de su límite elástico.

Sin ánimo de cansaros, aunque os aseguro que entender y trabajar en profundidad con el diagrama de pivotes es muy divertido, os resumo el método en el siguiente vídeo:

Ecuaciones constitutivas

Para trabajar sobre el diagrama de pivotes hay que postular una ecuación constitutiva del hormigón y otra del acero que nos permita, una vez fijado un plano de deformaciones de rotura, plantear las ecuaciones de equilibrio.

En acero hay bastante más consenso, pero en hormigón…bienvenido al mundo de las ecuaciones constitutivas. Las hay para todos los gustos y para todos los propósitos.

Podemos diferenciar dos tipos:

  • las que quieren conocer el comportamiento de la sección en estados previos a la rotura, por ejemplo los Estados Límite de Servicio, Estas ecuaciones son no lineales y con expresiones complejas, véase como ejemplo la ecuación de Sargin.

  • Y las ecuaciones que buscan integrar adecuadamente el bloque de compresiones del hormigón, independientemente de su forma. En este grupo tenemos las más conocidas, la Parábola Rectángulo, la Elasto-plástica y mi favorita, la ecuación rectangular.

Esto de forma implícita supone que no debéis utilizar las expresiones del segundo grupo para obtener tensiones en secciones agotadas o no, y que no os podéis fijar en las tensiones, debéis fijaros solo en su suma, en el valor de la fuerza de compresión que provocan, en el área rayada.

En ese sentido  la ecuación Rectangular es muy honesta, no sirve para conocer las tensiones en el hormigón y lo muestra con su forma discontinua, absurda.

Sin embargo, la ecuación Párábola-Rectángulo por tener una forma más “real” parece una ecuación adecuada para obtener tensiones, pero no lo es. Es un error que he visto cometer varias veces.

Paradojas de la historia

Entre las primeras ecuaciones constitutivas utilizadas para integrar tensiones provocadas por planos de rotura, destaca la Parábola-Rectángulo.

Ésta ha sido la ecuación más famosa aunque con sus complejidades geométricas. Tanto era el tedio de operar con dicha ecuación que se articularon tablas universales que contenían los resultados reducidos de los puntos más característicos de cada plano.

En aquella época, sin ordenadores, hubiera parecido que la solución más lógica habría sido simplificar la ecuación constitutiva en vez de intentar tabularla. Sin embargo es coincidiendo con la llegada de los ordenadores cuando la ecuación Rectangular, claramente más sencilla de evaluar, comienza a ganar adeptos.

La ecuación parábola rectángulo es como lo que hace el físico cuando le piden calcular el volumen de una vaca

Este ensayo es ficticio y para ello no hemos hecho sufrir a ningún animal
Dibujo de Ed Marks

La elección del Parábola-Rectángulo como ecuación constitutiva es desde luego para mí una paradoja, sobre todo teniendo en cuenta que los resultados con una u otra ecuación, como veremos en el próximo post, son tremendamente similares.

La ecuación rectangular es como lo que responde el ingeniero cuando le piden calcular el volumen de la vaca. Lo veremos en el próximo post.


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Flecha-roja

 

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Ingeniero de caminos Director de innovación CALTER ingeniería Director de contenidos INGENIO.XYZ Profesor de Edificación UPM Libros: - Números Gordos en el proyecto de estructuras Ed: CINTER - Jiménez Montoya. Hormigón armado, 15ª ed. Ed GG Colaborador invitado de Estructurando

10 Responses to ¿Merece la pena complicarse la vida con la ecuación Parábola-Rectángulo?

  1. Jorge Saluzzo dice:

    En el texto dice: “Momento Límite con una formulación más analítica y un razonamiento impecable: el momento flector por encima del cual el acero traccionado que equilibra al hormigón trabaja por debajo de su límite elástico”. Creo que habría que corregir un término reemplazando “debajo” por “encima”, ya que en la Teoría del Límite de Rotura cuando el hormigón esta en rotura el acero se halla ya en el período de fluencia y deformaciones permanentes.

    • Hola Jorge:

      Qué importante es hacerse entender, ¿verdad?
      Cuando escribo “momento por encima del límite” estoy queriendo decir “momentos mayores que el límite” aunque si te fijas en el diagrama de pivotes, en realidad podría decir “un momento cuyo plano está por debajo del límite”.

      Eso pasa porque “la profundidad del plano de deformaciones” y “el valor del momento flector” tienen una variación inversa.

      Gracias por la observación.
      Un saludo cordial

  2. José Manuel Soria dice:

    Excelente post! Deseando leer el siguiente!

  3. Miguel dice:

    Estimado Profesor,

    Gracias de nuevo por este artículo y por compartir estos secretos. Me ha gustado mucho la observación de que el diagrama rectangular, bilineal o parábola-rectángulo son diagramas a utilizar en el agotamiento de la sección y no en chequeos de servicio, ya también he visto muchas veces este error.

    En este sentido, hablando del chequeo en servicio, me gustaría preguntarle si sería adecuado asumir una distribución lineal de tensiones ligada con la deformación por el Ecm. Haciendo esta primera hipótesis, adicionalmente se debe comprobar que la tensión en el hormigón no podrá ser mayor que 0,4*fcm y si esto se cumple podemos dar por válido el chequeo de servicio (tensiones correctas, deformaciones correctas … etc). ¿Piensa que esto es correcto? , sino se cumple la hipótesis del 0,4*fcm tenemos que ir a morir al complicado diagrama de Sargin.

    Enlazando esta última puntualización con la primera y dando la vuelta a la tortilla, quería preguntarle si el diagrama de Sargin (Art.21), ¿ Se puede utilizar para evaluar el agotamiento de la sección ?, es decir ¿ podemos decir que su resultante sería “parecida” a la que podemos obtener con el parábola rectangulo, rectangular o bilineal?. Entiendo que sí … claro que si es así para que complicarse la vida ¿no?.

    Estoy deseando conocer cuando merece la pena utilizar el diagrama parábola rectangulo respecto del rectangular. Creo recordar que era en secciones fuertemente comprimidas donde se le saca un poquito más de jugo, pero como el que oye campanas sonar y no sabe donde …

    Gracias de nuevo, no nos abandones!

    • Hola Miguel:
      Gracias por tu opinión y tu ánimo.

      El bilineal es una aproximación que me gusta algo más que el parábola rectángulo, porque es igual de falso, pero es más fácil. 😉
      Desde lueg para tensiones pequeñas es perfecto y para tensiones grandes podría ser una idea, lo que pasa que cuando estamos e ese nivel de finura, analizando tensiones en estado elástico, suele indicar que estamos hilando fino y las simplificaciones pues no son suficientes.

      El Sargin es bueno (++) para servicio y también para ELU, ahora bien, es que en ELU tenemos mejores ofertas.

      Un saludo cordial

  4. Manuel García de Viedma dice:

    Como siempre magnífico, claro y conciso.

  5. Marcus Lindon dice:

    Las normas EH-88 y EH-91 incluyen el momento tope en el articulo 37. La primera EHE de 1998 ya no lo incluye.

    • Hola Marcus: ¡Gracias por el dato!

      Además, la EHE que cito es la EH-82, no la 81, que es con la que estudiamos tú y yo 😉
      Que en la EHE-98 no está el momento tope lo sé de buena tinta, pues fui ponente de esa edición.

      Un saludo cordial

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