Calcular Flechas integrando Curvaturas. El método definitivo.

¿Pensabas que calcular flechas era un asunto de alquimistas? Las curvaturas, su integración, las inercias, las fisuras, los teoremas de Mohr, todo parece muy complejo, pero no lo es tanto si lo entiendes. Además, como ya te contamos hace poco, no siempre el cálculo de las flechas es de fiar (en nuestro anterior post: “¿El cálculo de flechas es de fiar?).

En este post te intentamos arrojar algo de luz para que veas llegar las flechas con nitidez. Te vamos a explicar cómo calcular flechas integrando curvaturas, con hoja de excel incluida para que puedas practicar 😉 .

Antes de empezar a fondo con el proceso de cálculo repasemos algún concepto importante relacionado con el proceso:

  • La curvatura: es el giro de una rebanada (de longitud diferencial) y es provocada por un momento flector. A igualdad de momento, la curvatura será mayor cuanto más flexible se la sección, como podéis ver en el dibujo.

  • El giro de una viga, que es algo finito, no diferencial es la acumulación de los giros de sus rebanadas. O sea el giro se calcula sumando curvaturas (integrando, si son muchas curvaturas).
  • “La flecha de una viga es la consecuencia del giro” Esta frase me hizo entender hace unos años cómo se podía calcular la flecha de forma teórica. Si conoces el giro w de una sección, la flecha de esa viga a una distancia l es w·l

Para entender bien el alcance de esta frase os propongo que penséis en un voladizo. Hacedlo con la imaginación que es el “papel y lápiz” más potente. Hagamos un experimento mental con ese voladizo: Provocadle un giro w en el empotramiento y mantened el resto del voladizo recto. Os pregunto: ¿cuál es la flecha en la punta, si el voladizo tiene un longitud L? La flecha es el giro por la distancia, es la consecuencia del giro y cuanto mayor es la distancia al punto de giro mayor es esa flecha.

¿No os ha pasado nunca que habéis pensado una cosa os habéis sentido pioneros descubridores y luego os dais cuenta de que alguien lo había escrito ya? Pues lo siento chicos, el señor Mohr ya se dió cuenta de esto y le puso su nombre a este sencillo pensamiento: Dijo, “lo voy a llamar el segundo teorema de Mohr”. Si, el segundo, porque el primero ya lo había enunciado antes y es aún más evidente: “El giro de una viga es la suma de sus curvaturas”. Una luz, este tal Mohr, más por rápido que por listo 😉 y, por cierto, en realidad estos dos teoremas se atribuyen a Green, un lío…

Por lo tanto, si conocemos las curvaturas de la viga, les aplicamos el teorema de Mohr, hacemos un par de ajustes por aquí y por allí y conseguimos calcular la flecha. Vamos paso a paso.

CURVATURA DE UNA VIGA FISURADA

Así pues, ahora queda por conocer la ley de curvaturas de una viga y este es, probablemente, el aspecto más complejo de las vigas de hormigón; pero el concepto es sencillo: la curvatura es el giro de una rebanada sometida a un momento flector y su valor es proporcional a la rigidez a flexión de la sección EI.

Por tanto la complicación en realidad se traslada a conocer la inercia de las secciones a lo largo de una viga de canto constante (casi todas las vigas):

  • Si la viga no ha fisurado, todas las secciones son iguales. La rigidez es fácil y constante E·Ib,
  • Pero si la viga ha fisurado, ¿qué rigidez tiene? ¿E·If ? ¡No! porque la viga ha fisurado en unos puntos sí y en otros muchos más puntos no. En cuanto la viga fisura la ley de inercias deja de ser constante y pasa a ser una complicada y picuda figura:
    • La ley de curvaturas de una viga depende de su ley de inercias (linea roja de la figura) y en una viga fisurada la inercia es tremendamente difícil, y variable entre secciones, variando entre Ib e If con leyes de variación muy complejas que solo me atrevo a dibujar aproximadamente:

  • La ley de curvaturas es el cociente de esta ley anterior con la ley de momentos flectores. o sea, de nuevo una terrible complicación (línea roja de la figura)

Ya podéis ver que esa ley picuda de curvaturas de la viga es prácticamente imposible, ni de conocer, ni de operar. La única forma de trabajar con las curvaturas (con las inercias es lo mismo) es conseguir, en cada sección x, una curvatura equivalente obtenida como una interpolación entre la curvatura bruta y la curvatura fisurada en función del cociente entre el momento que actúa y el momento que fisura la sección.

Esta estrategia de interpolar entre un valor de la sección bruta y otro valor de la sección fisurada, en función de la intensidad del momento, es utilizada por cualquier método de cálculo. Lo que varía entre unos métodos y otros es qué variable se interpola.

Unos métodos interpolan la flecha, otros interpolan la inercia. Ambos métodos son simplificados puesto que aplican los valores del centro de vano (flecha o momento flector) a toda la viga:

  • En el caso de interpolar la flecha, se calcula la flecha bruta y la flecha totalmente fisurada y se interpola.
  • En el caso de interpolar la inercia, se calcula la inercia bruta y la inercia fisurada y se interpola una inercia equivalente y se calcula la flecha de una viga con esta inercia.

Con esto conseguimos una función suavizada (línea roja de la figura) de la imposible ley de curvaturas reales.

A partir de esta ley de curvaturas más tratable (linea roja), se aplica el segundo teorema de Mohr y se calcula la flecha.

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE MOHR A UNA VIGA BIAPOYADA

En una viga biapoyada que tuviese un giro w a la izquierda, y no tuviese flectores, es decir, sus rebanadas no tuviesen curvaturas, la flecha en el centro sería w·L/2.

Pero si entre el extremo izquierdo y el centro, las rebanadas tienen flectores positivos y, por tanto, curvaturas cóncavas, la viga se irá separando de la directriz recta anterior, movilizada por dichas curvaturas, una cantidad fM.

Esta flecha es la que se calcula con el segundo teorema de Mohr como la suma de las curvaturas de cada rebanada por su distancia al centro (punto de cálculo).

Recuerda que el 2º teorema de Mohr expresa la flecha como el momento estático de la ley de curvaturas que es lo mismo que multiplicar giros por distancias.

De forma que la flecha de la viga biapoyada es w·l/2 – fM

¡A INTEGRAR!

Entendido el algoritmo de cálculo de la flecha, basta programarse en un excel los siguientes pasos:

Generales:

  • Calcular la inercia bruta y fisurada (I)
  • Calcular la rigidez a flexión bruta y fisurada (1/EI)
  • Calcular el Momento de fisuración Mf

Dividir la viga en partes (secciones) en intervalos Dx

En cada intervalo, del extremo al centro, calcular:

  • El momento flector
  • La curvatura bruta (Xb=M/EIb)
  • La curvatura fisurada (Xf=M/EIf)
  • La curvatura equivalente:
    • Si M>Mf, Xeq= (aXb+(1-a)Xf)
    • Si M<Mf, Xeq = Xb
  • El área de la ley de curvaturas equivalentes en ese intervalo [Xeq·Dx]

  • El momento estático, producto del área anterior por su distancia al centro.

Con estos datos obtenidos en cada intervalo:

  • La suma de las áreas del extremo al centro es el giro en el apoyo izquierdo w izq,
  • La suma de los momentos estáticos es la flecha fM

La flecha en el centro es wizq·L/2 – fM

¡Y ya están integradas las curvaturas!

¡Y ya tienes tu flecha!

Esta explicación, de viva voz, la puedes escuchar en la Máster Class de ingenio.xyz.

Para entenderlo mejor y para que no se te olvide,  te recomiendo que hagas una pequeña hoja de cálculo que automatice el proceso. Aquí te dejo la mía para que la compruebes:

Ver hoja de cálculo de integración de curvaturas.


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Ingeniero de caminos Director de innovación CALTER ingeniería Director de contenidos INGENIO.XYZ Profesor de Edificación UPM Libros: - Números Gordos en el proyecto de estructuras Ed: CINTER - Jiménez Montoya. Hormigón armado, 15ª ed. Ed GG Colaborador invitado de Estructurando

2 Responses to Calcular Flechas integrando Curvaturas. El método definitivo.

  1. Toño dice:

    El enlace a la hoja excel no funciona. El artículo es muy didáctico y muy bien explicado, GRACIAS!!

  2. Jorge dice:

    Buen artículo, muy claro; espero después poder descargar el libro excel. Gracias

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