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Un estadio vibrando y cómo calcular las frecuencias fundamentales de una placa

El pasado 19 de mayo un vídeo se hizo viral en las redes sociales mostrando un estadio “vibrando” literalmente debido a que los aficionados saltaban al unísono haciendo entrar la estructura en resonancia.

Se trata del Commerzbank-Arena, en Alemania; el estadio del club deportivo Eintracht Frankfurt que participa en la Bundesliga. Por lo visto, el club se jugaba la permanencia en la categoría y la afición lo dio todo 😕 .

He visto en las redes que hay mucha gente que se ha preguntado si estas cosas, el salto de personas al unísono, se tienen en cuenta en el cálculo de las estructuras.

La respuesta es que sí. Se trata de un Estado Límite de Servicio llamado Estado Límite de Vibraciones.

En general, para cumplir el Estado Límite de Vibraciones debe proyectarse la estructura para que sus frecuencias naturales de vibración se aparten suficientemente de ciertos valores críticos.

En este post vamos a repasar esos valores críticos, deducir la frecuencia que tenía la acción de los aficionados germánicos botando (por cierto, ¿esa no es la canción de Pipi CazasLargas? 😯 ) y de paso os dejo un método simplificado para calcular rápidamente la primera frecuencia fundamental de un forjado.

Según las normativas (la EHE, IAP, CTE y EAE)  las frecuencias fundamentales de una estructura deben alejarse de los siguientes valores críticos en función de su uso:

  • Gimnasios o palacios de deporte: >8Hz
  • Salas de fiesta o conciertos sin asientos fijos: >7 Hz
  • Salas de fiesta o conciertos con asientos fijos: >3,4 HZ
  • Oficinas o centros comerciales: >3 Hz
  • Pasarelas peatonales: >5Hz y más precisamente:
    • Para oscilaciones en el plano vertical: entre 1,25 Hz y 4,60 Hz
    • Para oscilaciones en el plano horizontal o de torsión: entre 0,5 y 1,20 Hz

Para que os hagáis una idea, la excitación de peatones andando o corriendo suavemente está entre 1,25 Hz y 2,4 Hz, mayores frecuencias, hasta los 4,6 Hz, corresponden al segundo armónico de la misma excitación.

Para peatones corriendo a cierta velocidad la frecuencia de excitación está entre 2 Hz y 3,5 Hz aunque la sincronización de los pasos es menos común que cuando se anda o se corre mas suavemente.

genten andando

Se supone que si nuestra estructura cumple que su frecuencia fundamental esta alejada de las frecuencias críticas anteriores, no va  a tener problemas de vibración. Sin embargo, si esto no se cumpliera, no es que la estructura vaya a tener problemas “a priori”, si no que debemos realizar comprobaciones más estrictas en la estructura para ver si tendremos problemas de resistencia, fatiga  o de confort del usuario.

Hace poco hicimos un artículo donde hablábamos de cómo modelizar el “time history” del paso humano en “Un método para generar la carga dinámica del paso humano” (interesante cuando nos vemos obligados a realizar las comprobaciones más complejas).

¿Qué frecuencia tenía la oscilación de los germanos en el Commerzbank-Arena? Pues si os limitáis a contar cuantos saltos acompasados dan en, digamos, unos 10 segundos, veréis que dan unos 20. Es decir, 20 botes en 10 segundos, un periodo de un bote a 0,5 segundos, o lo que es lo mismo, una frecuencia de 2 Hz.

Como veis, la carga dinámica de los seguidores del Eintracht Frankfurt entra de los rangos previstos por la normativa. Por tanto, se puede decir que si el estadio vibra así, es debido a un diseño incorrecto. No quiere decir que se vaya a caer, pero podemos asegurar que se podía/debía haber tenido en cuenta.

En este sentido, os dejo un sencillo método para poder estimar la frecuencia fundamental de un forjado. Se trata de una manera rápida de ver si lo que estamos calculando va a cumplir con las frecuencias límite de la normativa.

Básicamente la frecuencia fundamental de una placa (forjado) isótropa viene dada por la siguiente fórmula:

frecuencia placa

Donde:

  • E es el módulo de deformación del material en N/m²
  • t es el espesor de la placa en m
  • µ es la masa del forjado (con solería) por unidad de superficie Kg/m²
  • ν es el coeficiente de posion
  • L largo de la placa en m
  • α es un coeficiente que viene función de las condiciones de contorno de la placa:

frecuencia placa 1 frecuencia placa 2 frecuencia placa 3 frecuencia placa 4 frecuencia placa 5 frecuencia placa 6

Con:

leyenda

 

 

 

 

Espero que os haya resultado útil e interesante.

Fuente: Design of floor structures for human induced vibrations. JRC European Commission.

 


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José Antonio Agudelo Zapata

Ing. Caminos, Canales y Puertos y Máster de Estructuras por la Universidad de Granada. Cofundador y responsable de Estructurando.net

10 Responses to Un estadio vibrando y cómo calcular las frecuencias fundamentales de una placa

  1. Miguel Angel dice:

    Más que útil e interesante

  2. Buenos días. Muy interesante este post, como casi todo lo que poneis. Voy a dejar mi opinión porque creo que esto no es tan sencillo.

    Parece que son unas vigas prefabricadas pretensadas. Son bastante flexibles. Me parece imposible que no se hayan verificado bien estas vigas sabiendo que tendrían periodos bastante lentos. En estas obras suele haber mucha gente (ingenieros) opinando. Hay que tener en cuenta que a veces los modos dan sorpresas porque la “masa” que participa puede incluir una parte notable de las cargas vivas, ralentizando aun más los periodos. Pero también te puede pasar al revés, que la sobreestimes.

    Lo normal, es ver los límites inferiores y superiores, y si no puedes evitar la incertidumbre, asegurarte de que aún produciendose la resonancia no se comprometa la seguridad de la estructura.

    Por supuesto estoy obviando muchisimas más incertidumbres como rigideces de materiales, uniones, etc.

  3. Miguel Manero dice:

    Hola
    he ojeado el post “método para generar la carga dinámica del peso humano”. Me ha parecido extraordinario y me descargué el articulo (en iglés).
    En ese articulo hay dos ejemplos resueltos y en los dos tengo la misma duda.
    En el 1º Losa de 160 mm sobre vigas HEM 360 alveolares
    ,. se dan una áreas de perfil que no se de donde salen , pero sobre todo el Mom de Inercia 5.149 E+9 mm4 se puede saber de donde sale?

    En el 2º forjado mixto COFRASTRA 70 y espesor total de 15 cm, sobre vigas IPE-600
    .- Mom de Inercia de la losa 20355 cm4/m
    .- Mom de Inercia de la viga 270089 cm4
    de donde salen estos datos?
    Gracias

    • Hola Miguel,

      He mirado por encima el artículo y tienes razón. No parece evidente de donde salen esos valores. ¿Has probado a considerar la sección de acero con la losa de hormigón de ancho bef homogenizando el hormigón?

      Te adjunto el link la publicación de AcerlorMittal que tradujeron el artículo y quizás arroje mas luz.

      http://sections.arcelormittal.com/fileadmin/redaction/4-Library/1-Sales_programme_Brochures/Vibration/Vibration_ES.pdf

      Si encuentras el motivo, cuentanoslo en el blog.

      Un saludo.

      • Miguel Manero dice:

        Hola Jose Manuel, pues no soy capaz de averiguarlo.

        En el primer caso los 5.149E+9 mm4 de Inercia puede ser que vaya por donde tu dices, osea con la losa homogeneizada, pero aproximadamente para ese perfil (rarito por cierto) no considera la beff de 2.94 sino bastante menor. Por lo demas en este caso es lo único que queda en el aire.

        Lo del segundo (Forjado colaborante COFRASTRA 70 S/IPE600) el caso es todavía mas raro. Las vigas tienen una luz de 7,5 mts ( en plano) y en las fórmulas la considera de 15.- mts. (en la descripción habla de 15.- mts de luz, vamos que ya les vale), supongo que es un error de dibujo. La beff de 2,5 mts es también un misterio ya que debería ser 2×15/8 = 3,75 y es de suponer que al ser mayor que 2,5 se deja en 2,5

        El área de viga es 468 cm2 justo el triple de una IPE 600 y la Inercia 270089 cm4 es también aproximadamente 3 veces la de una IPE600. En cuanto a la losa (de 15cm espesor total) su área de 1170 cm2/m y su inercia 20355 cm4/m

        • Miguel Manero dice:

          seguimos
          lo más cercano que encuentro en el catálogo del forjado es una magnitud 11,86 cm = d-vi ,siendo Vi la distancia del eje neutro del perfil a su nervio inferior, lo cual, si compensamos partes vacias y huecas nos daría una superficie de 1186 cm2/m pero no 1170 y lo de la Inercia pues sinceramente no se de donde la sacan.

          En el catálogo hay una magnitud de 1805 cm4/m llamada I15 que es momento de inercia mixta equivalente en acero para Ea/Eb=15 que supongo no es la relación entre módulos de elasticidad de acero y hormigón.

          Ya lo de menos es que Ec lo calculan con la ACI y no con la EHE, pero vamos visto lo visto eso es pecata minuta.

          Gracias por tu respuesta y a ver si alguien averigua esos datos
          Un saludo a todos

  4. David Cuadros Torres dice:

    Hola que tal tengo una consulta, soy estudiante de 9 ciclo de Ingeniería Civil de Perú y mi tesis que estoy realizando es sobre escaleras prefabricadas y trado de analizar la vibración en escaleras pero no encuentro bibliografia referente al tema y di con este articulo. Deseo saber si alguien me puede brindar una ayuda con ese tema que mencione. Gracias
    Atte
    David

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